Глава 2.5 Динамические модели межотраслевого баланса

АЛГОРИТМ - Динамическая модель межотраслевого баланса

Рассмотрим основные допущения, начальные и граничные условия и последовательность, алгоритм всех дальнейших расчетов динамической модели МОБ с учетом воспроизводства основных средств.

Вспомним, что для расчета коэффициентов прямых затрат для производства продукции j-й отрасли (колонки матрицы) необходимо разделить все внешние материальные затраты различных предприятий i-х (строки матрицы) отраслей X_ij на объем продаж j-й отрасли X_j.

В результате получены коэффициенты а_ij прямых затрат i-го продукта на единицу j-го продукта, т.е. на его производство. Данные расчеты представлены в виде или в виде матрицы – А.

На следующем этапе построена модель МОБ с учетом воспроизводства основных средств.

Вначале обозначены все основные средства, используемые различными предприятиями одной отрасли как Ф_ij. Соответственно, основные средства предприятий всех отраслей экономики можно представить в виде матрицы – Ф.

Для модели МОБ необходим не показатель фондоемкости (Ф=Ф/Х), а именно амортизационные отчисления на производство единицы продукции, т.е. величина амортизационных затрат. Понятно, что каждое здание, сооружение, оборудование, станок, компьютер и т.д. имеют свой индивидуальный срок службы. Обозначим средневзвешенный срок службы всех основных средств для предприятий каждой отрасли переменной Т_ij. В матричном виде данную переменную обозначим как - Т.

Предположим, что все предприятия, фирмы различных отраслей экономики применяют линейную модель амортизационных отчислений. В результате величину линейной амортизации можно представить в виде, т.е. разделим фондоемкость (Ф/Х) еще и на срок службы (Т) — получим амортизационные отчисления на производство единицы продукции:

В матричном виде амортизационные отчисления — B=Ф/(Х*Т).

Для того чтобы учесть все затраты, необходимо прибавить матрицу амортизационных отчислений (В) к матрице коэффициентов прямых затрат (А). В результате получим новую матрицу (А+В), в которой учитываются как прямые, так и амортизационные затраты.

Вычтя полученную матрицу А+В из единичной матрицы E, получим матрицу E-(A+В) — которая отражает величину добавленной стоимости в виде E-(A+В) без амортизационных отчислений В.

Далее обратив разность, получим новую матрицу коэффициентов полных затрат (E-A-B)^-1 за вычетом амортизации.

Практически получена модель МОБ с учетом воспроизводства основных средств, естественно в рамках принятых допущений, начальных и граничных условий.

Понятно, что данная модель МОБ с учетом воспроизводства основных средств (восстановления основных средств) отражает состояние экономики без роста общественного производства (без дальнейшего роста производства), в ней производство находится на одинаковом уровне из года в год.

Безусловно, для того чтобы обеспечить рост экономики в следующих временных периодах, нужно обеспечить расширенное воспроизводство, а для этого необходимо обеспечить прирост не только основных (F^ОС) фондов (средств), но также предоставить предприятиям различных отраслей необходимые оборотные (F^ОБ) фонды.

Возникает вопрос, где найти эти средства (F^ОБ+F^ОС) – ответ достаточно прост - придется уменьшить конечное потребление или ВВП.

Итак, для обеспечения расширенного воспроизводства необходимо определить величину всех элементов матрицы основных (F^ОС) фондов, а также величину элементов матрицы оборотных (F^ОБ) фондов. Просуммировав матрицы основных (F^ОС) фондов и оборотных (F^ОБ) фондов, получим необходимый объем приростных фондоемкостей:

F=F^ОБ+F^ОС

На следующем этапе необходимо определить планируемые величины темпа роста экономики для предприятий каждой отрасли. Обозначим матрицу величин индивидуального темпа роста отраслей экономики в виде диагональной матрицы K. И рассчитаем прирост фондов по отраслям – данная величина это произведение матрицы объема приростных фондоемкостей (F) на матрицу темпа роста экономики для предприятий каждой отрасли (K):

F*K

Для того чтобы учесть все затраты необходимо к матрице коэффициентов прямых затрат А прибавить матрицу амортизационных отчислений – В, также прибавить матрицу прироста фондов по отраслям FK. В матричной записи данную величину можно показать в виде:

A+B+(F^ОБ+F^ОС)K=A+B+FK

Учитывая, что в каждом временном этапе планируется произвести предприятиями каждой отрасли единицу «1» продукции, то необходимо определить, сколько затрат (A+B+FK) в каждой единице «1» продукции. Для этого достаточно из единичной (диагональной) матрицы вычесть матрицу затрат (A+B+FK). В матричной записи данную разницу можно изобразить в виде:

Е-(A+B+FK)

Далее обратив разность, получим новую матрицу коэффициентов полных затрат. В матричной записи данную величину можно представить в виде:

(Е-(A+B+FK))^-1.

В ней учтены все затраты, матрица прямых затрат – А, матрица амортизации - B, и затраты прироста фондов по отраслям матрица - FK.

Рассчитав полные затраты с учетом всех существующих и планируемых затрат, можно определить реальную величину конечного потребления (спроса) или ВВП в текущем периоде. В матричной записи данную величину можно представить в виде:

Y=(E-A-B-FK)X

В заключении отметим, что реальная величина конечного потребления (спроса) или ВВП в текущем периоде, когда учитывались только прямые затраты Y_(E-A) будет больше ВВП, в котором учтены прямые и амортизационные затраты Y_(E-A-B). В свою очередь, эта величина ВВП будет больше ВВП, в котором учтены прямые, амортизационные и затраты прироста фондов Y_(Е-A-B-FK).

Y_(E-A) > Y_(E-A-B) > Y_(Е-A-B-FK)

Практически получена динамическая модель МОБ с учетом воспроизводства основных средств, естественно в рамках принятых допущений, начальных и граничных условий.

АЛГОРИТМ - Динамическая модель межотраслевого баланса

ЗАМЕЧАНИЕ. Для реализации международной программы сопоставления развития различных стран-членов ООН в системе национальных счетов СНС ООН в рамках МОБ предусмотрена единая классификация основных средств (Ф), и соответственно та же классификация по показателям: амортизации (В), сроку службы (Т), инвестициям (FK).

В рамках этой классификации все предприятия, всех отраслей, всех стран-членов ООН готовят/формируют ежегодную статистическую отчетность.

Понятно, что используя эту отчетность многие вычисления можно осуществлять более просто, исходя из имеющихся статистических таблиц или интернет баз данных.

Так, например, в интернет базах данных США эти массивы информации: основных средств (Ф), и соотвественно по амортизации (В), сроку службы (Т), инвестициям (FK) по основным секторам/отраслям, начиная с 1947г. по настоящий отчетный период, представлены достаточно подробно. Для этого достаточно посетить интернет источник бюро экономического анализа министерства торговли США и скачать базу данных – http://bea.gov/national/FA2004/Details/Index.html. На этом же сайте можно найти множество других показателей, счетов по национальной экономике США — http://bea.gov/national/index.htm, а также уже исходных, обработанных и готовых таблиц МОБ как в ценах потребителей, так и в ценах производителей — http://bea.gov/industry/io_annual.htm. Данные по персоналу (профессии, численность, оплата труда) рекомендуем уточнять на сайте бюро трудовой статистики министерства труда США — http://stats.bls.gov/oes/current/oessrci.htm.

Все интернет базы данных стран-членов ООН отражают все исходные статистические показатели от рабочего места персонала любых организаций:

1. по всем материальным затратам всех отраслей, рынков,
2. по персоналу по отраслям, рынкам, регионам: классификация профессий, численность, профессиональные группы, подразделения/центры ответственности, компенсация, часовая/годовая оплата труда, процентные социальные, пенсионные отчисления,
3. по основным средствам (Ф), амортизации (В), сроку службы (Т), инвестициям (FK) по отраслям, рынкам, регионам,
4. по прибыли по отраслям, рынкам, регионам,
5. по субсидиям/налогам по отраслям, рынкам, регионам,
6. по процентным доходам/расходам по отраслям, рынкам, регионам,
7. по ценам, по доходам, по логистике, и т. д. по отраслям, рынкам, регионам.

Без этих статистических данных невозможно построить МОБ, СНС и, наконец, рассчитать столь любимый либеральными экономистами показатель ВВП. Подчеркнем, статистических данных собираемых исключительно с рабочего места персонала, на всех последующих уровнях они лишь суммируются/интегрируются.

Очевидно, что эти подробные, в т.ч. интегрированные, статистические базы данных необходимы для анализа, планирования, контроля, моделирования в рамках МОБ. Как можно чем-то управлять на уровнях: организаций, отраслей, регионов, министерств, правительства, государства не имея этих данных.

В статической модели межотраслевого баланса (с учетом амортизации) продукция каждой отрасли распадается на две основные части:

• фонд возмещения (с распределением по отраслям-потребителям) или промежуточный спрос;
• конечный продукт – конечный спрос.

Между тем часть последнего - конечный продукт, направляемый на расширение производства, в конечном счете, остается в сфере производства и, следовательно, как и фонд возмещения, не может быть самоцелью.

В руках общества для удовлетворения его потребностей остается лишь та часть конечного продукта (ВВП), которая не возвращается в сферу производства для ее расширения. Соотношение этих двух частей конечного продукта связано с темпами роста производства. Учет всего этого при построении межотраслевого баланса и означает переход от статической к динамической модели.

Динамическая модель межотраслевого баланса, таким образом, учитывает взаимосвязи отраслей не только в части возмещения материальных затрат, но и в части обеспечения расширения производства.

Как известно, рост производства может достигаться как введением в эксплуатацию новых фондов, так и улучшением использования уже действующих.

Еще раз вспомним, что модели МОБ работают только в рамках закона стоимости или трудовой теории стоимости, и ничего общего не имеют с либеральными теориями.

Для начала определим ряд понятий, которые нам необходимы для построения динамической модели межотраслевого баланса расширенного воспроизводства.

Издержки производства, совокупные затраты труда (живого и прошлого, овеществленного) на изготовление продукта. В производстве любого продукта участвуют два вида труда:

• Живой труд, т.е. труд, затрачиваемый рабочими в самом процессе производства этого продукта.
• Прошлый (овеществленный) труд, который был затрачен на прежних стадиях общественного производства и используется для производства данной продукции:
  • частично — здания, машины, т.е. списываемая часть стоимости на затраты или амортизация, и
  • полностью — сырьё, топливо и энергия, материалы, т.к. все затрачивается на производство товаров или услуг.

Простые моменты процесса труда — целесообразная деятельность, или самый труд, предмет труда и средства труда — образуют первичные элементы издержек производства. При повторении процесса труда (воспроизводстве) вещественные его элементы (средства производства) возмещаются (вычитаются) из общественного продукта. Сам труд не возмещается, он снова затрачивается, но предварительно должна быть восстановлена рабочая сила (работоспособность) человека. Средства существования, требующиеся для восстановления рабочей силы, представляют собой необходимый продукт. Издержки производства, сведённые к их вещественным элементам, представляют собой совокупные расходы материальных ресурсов (средств производства и средств существования для работников производства). Это общие черты издержек производства, вытекающие из простого процесса труда.

Конкретно-историческое содержание и формы издержек производства определяются уровнем развития производительных сил и специфическим характером условий воспроизводства совокупного продукта и рабочей силы, свойственных данному способу производства. Благодаря росту производительности труда на определённой ступени исторического развития человек получил возможность производить больше продуктов, чем было необходимо для возмещения потребленных средств производства и восстановления его рабочей силы.

Описание оборотных фондов будем вести как их понимали русские/советские экономисты, а не либеральные «экономисты».

Оборотные фонды (F^ОБ), часть производственных фондов организаций, которая целиком потребляется в каждом производственном цикле и полностью переносит (передаёт) свою стоимость на новый продукт труда. Оборотные фонды (F^ОБ) меняют свою натуральную форму в процессе производства, их стоимость в течение одного производственного цикла целиком входит в издержки (затраты) производства продукции.

В оборотные средства включают: денежные средства организации, используемые для создания производственных запасов сырья, материалов, топлива, тары, инструмента, производственного и бытового инвентаря; заделы незавершённого производства; запасы готовой продукции, а также средства, вложенные в расчёты и остатки денежных средств на расчётных счетах в банках и в кассах предприятий и организаций. Одна часть их функционирует в процессе производства, другая — в сфере обращения.

Оборотные фонды (F^ОБ) состоят из предметов труда — производственных запасов (сырья, основных и вспомогательных материалов, топлива, покупных полуфабрикатов и т.п.) и незавершённой продукции (полуфабрикатов собственного изготовления и расходов будущих лет, т.е. затрат на продукцию, которая будет выпущена в будущем). В стоимость незавершённой продукции включается зарплата рабочих и служащих, начисленная на выпуск этой продукции.

К оборотным фондам (F^ОБ) относятся также малоценные и быстроизнашивающиеся предметы и инструменты, стоимость которых не более установленной нормы или срок службы менее одного года (независимо от их стоимости). Функционирование предприятий связано с наличием определённых производственных запасов на всех стадиях воспроизводства. Они обеспечивают непрерывность и ритмичность всех производственных процессов и служат своего рода страховым резервом на всех стадиях общественного воспроизводства.

В то же время излишки производственных запасов замедляют оборот фондов, снижают эффективность производства, создают напряжённость в снабжении и т.д. Поэтому объём оборотных фондов народного хозяйства является одним из важнейших показателей, характеризующих экономический потенциал страны; скорость их оборота — показателем эффективности экономики ее технологического потенциала.

Рост общественного производства приводит к увеличению потребности в оборотных фондах.

В то же время потребность в оборотных фондах возрастает в меньшей степени, чем выпуск продукции. Интенсификация производственных процессов, широкое развитие специализации и кооперирования предприятий, совершенствование материально-технического снабжения и транспортных процессов в народном хозяйстве (размеры, сроки и регулярность поставок), технико-экономическое обоснование норм запасов и расхода сырья, материалов и т.п. на изготовление продукции, сокращение отходов при обработке являются важным резервом повышения эффективности общественного производства.

Описание основных фондов будем вести как их понимали русские/советские экономисты, а не либеральные «экономисты».

Фонды основные (F^ОС) в экономике, совокупность производственных основных фондов предприятий и объединений и непроизводственных основных фондов.

Развитие общественного производства, повышение его эффективности связаны в значительной степени с более рациональным использованием фондов основных (F^ОС) как материально-технической основы всех отраслей народного хозяйства. Повышение уровня использования их непосредственно отражается в росте фондоотдачи.

В состав фонды основные (F^ОС) включаются основные фонды: государственных, кооперативных и общественных предприятий и организаций, колхозов, а также находящиеся у населения жилые дома, хозяйственные постройки, многолетние насаждения, рабочий и продуктивный скот.

Рассмотрим модель, в которой предполагается, что весь рост производства обеспечивается только увеличением фондов.

Чтобы в j-и отрасли обеспечить прирост производства на единицу продукции в год, требуется вложить в нее в качестве дополнительных фондов f_ij продукции i-й отрасли. Это так называемая «приростная фондоемкость» за счет i-го продукта.

Важно заметить, что она, вообще говоря, отнюдь не равна фондоемкости ф_ij для действующих фондов. Для того же, чтобы обеспечить прирост конечной продукции j-и отрасли на ΔX_j, требуется вложить продукции i-й отрасли (промежуточный спрос) в размере f_ijΔX_j. Таким образом, для расширения производства в разных отраслях требуется вложения i-гo продукта .

Эту величину и надо взять из конечного продукта Y_i для обеспечения расширения производства в разных отраслях.

Величина конечного потребления естественно будет уменьшена в текущем году, т.к. для того чтобы в следующий год обеспечить прирост производства, то уже в этом текущем году необходимо увеличить затраты на рост дополнительных фондов f_ij продукции i-й отрасли .

Подчеркнем, что этот рост должен быть осуществлен как по основным (F^ОС), так и по оборотным (F^ОБ) фондам.

Оставшаяся его часть, обозначим ее как П_i :

и образует то, что может быть использовано для удовлетворения потребностей общества (в широком смысле - для личного потребления, непроизводственной сферы, включая и оборону, и т.д.).

Практически это и есть конечный продукт (Пi), который общество может расходовать на потребление.

Уравнение баланса в результате получает вид:

где f_ijΔX_j есть прирост ΔФ_ij фондов j-и отрасли за счет продукции i-й отрасли.

Здесь надо отметить, что коэффициенты f_ij учитывают необходимость вложения дополнительных средств не только в основные (F^ОС) фонды, но и в оборотные (F^ОБ).

В статической модели об этом речи не было: в ней оборотные фонды как бы «продвигаются» через процесс производства, превращаясь на его выходе в продукт, а возмещение материальных затрат их непрерывно на входе возобновляет.

Иное дело в динамической модели, поскольку для обеспечения прироста требуются дополнительно и оборотные фонды.

Сказанное становится особенно ясным, если представить себе, что весь прирост достигается за счет ввода в эксплуатацию целиком новых предприятий.

Введем отраслевые темпы прироста производства k_j.

Тогда, заменив ΔX_j на k_jX_j, т.е. ΔX_j=k_jX_j можем представить балансовое уравнение

для i-го продукта в виде:

Чтобы написать систему этих уравнений в матричной форме, введем матрицу вновь вводимых фондов F коэффициентов f_ij и диагональную матрицу темпов прироста производства:

и вектор П из элементов П_i.

Тогда эту систему можно записать, как

X=(A+B+FK)X+П (4)

Решив эту систему относительно X, мы найдем выпуск каждого продукта, обеспечивающий фонд потребления П и заданные темпы производства.

Таким решением является вектор:

X=(Е-A-B-FK)^-1П=Н^*П (5)

В частности, полагая, например, все k_j, кроме одного, равными «0», а также и П равным «0», найдем, какой выпуск всех продуктов обеспечил прирост данной отрасли. Легко видеть, что H может рассматриваться и как частный случай H^* при K=0, т.е. когда темп роста на следующий год не предполагается.

Матрица А+В+FK должна удовлетворять условию неотрицательности полученных на ее основе коэффициентов, образующих матрицу H^*, подобно тому как А или А+В должны были приводить к неотрицательной матрицы H

Н=(Е–A–B–FK)^-1

Но теперь это условие означает возможность не только производства, но и заданных темпов его роста (без привлечения ресурсов извне – допустим из США). Очевидно, возможны случаи, когда H неотрицательны, a уже H^* этому условию не удовлетворяют.

Поясним. Это вытекает из элементарного, ведь если из единичной матрицы «1» вычесть сначала матрицу А, а из полученного значения вычесть еще и матрицу В, а затем разделить «1» на полученное значение - H=(E-A-B)^-1. Становится понятно, что чем меньше знаменатель, тем больший результат от деления. Т.е.

(Е-A-B-FK)^-1 > (E-A-B)^-1 > (E-A)^-1

Экономический смысл (Е-A-B-FK)^-1 можно определить следующим образом, чем больше величины, элементы матриц А, B, FK, тем сложнее технологии, выше уровень разделения труда, тем больше предприятий участвуют в производстве конечного продукта.

Например, в финансово-банковской системе или торговле по сравнению с промышленностью сельским хозяйством или строительством элементы матрицы А не велики, поэтому финансовая система, банки, торговля не в состоянии играть роль локомотивов экономики.

Если классифицировать (кластеризовать) все отрасли экономики по уровню мощности их мультипликативного воздействия на экономику страны, то выяснится, что финансовая система, банки, торговля занимают почетное последнее место, по сравнению с промышленностью, сельским хозяйством, строительством и т. д.

Из этого следует важнейший вывод – как нужно гармонично, максимально эффективно развивать экономику всей страны, и как формировать в условиях кризисов антикризисные мероприятия.

Хочется верить, что экономисты либерального толка, наконец-то, с этим разберутся, иначе человечество никогда не выйдет из регулярных финансовых, экономических, политических кризисов.

Продолжим уже использованный выше пример.

Пусть приростные фондоемкости для применяемого в качестве основного средства продукта образуют вектора:

для 1-го (0,067 0,01 0,011 0,001 0,007),

для 5-го (0,125 0,05 0,075 0,1 0,333).

Здесь некоторые составляющие больше соответствующих фондоемкостям ф_ij, другие меньше, третьи совпадают с ними.

Далее, учтем, что на единицу прироста требуются дополнительные оборотные средства, образующие матрицу:

Прибавив к каждому элементу матрицы оборотных фондов F^ОБ, приведенные выше элементы матрицы основных фондов F^ОС, получим окончательную суммарную матрицу приростных фондоемкостей:

F=F^ОБ+F^ОС

Введем относительные темпы роста по отраслям в виде вектора

K'=(0,05 0,04 0,03 0,02 0,01),

т.е. темп прироста 1-й отрасли составит - 5%, темп прироста 2-й отрасли составит - 4%, темп прироста 3-й отрасли составит - 3% и т.д.

Умножив ресурс основных и оборотных фондов - f_ij, т.е. F=F^ОБ+F^ОС на эти темпы - K, получим матрицу F*K:

f_ijΔX_j есть прирост ΔФ_ij фондов j-и отрасли из продукции i-й отрасли или FK.

Отсюда суммированием все матрицы A+В+FK получим суммарную матрицу (A+В+FK):

Вычтя ее из единичной матрицы, получим матрицу (E-(A+В+FK):

Далее обратив разность, получим матрицу полных затрат H*=(E-A-B-FK)^-1:

Если умножим H* на вектор потребления П, получим производственную программу, обеспечившую это потребление, и одновременно данные темпы роста производства предприятий различных отраслей.

Из этого еще не следует, что при таких темпах роста будет сохранен или тем более увеличен фонд потребления в последующем.

Рассмотрим задачу в более узком виде.

Предположим, на следующие годы планируется одинаковый темп роста для всех отраслей, при этом отраслевая структура сохраняется постоянной, неизменной. Для выполнения этого условия положим все k_j=k. Матрицу FK можем представить как умножение коэффициентов темпа роста отраслей - k на матрицу F.

На следующем этапе будем поэтапно увеличивать темп роста всех отраслей экономики, т.е. матрицу K. Цель данного увеличения матрицы K – определить, на каком этапе определитель матрицы (E-A-B-FK)^-1 достигнет «0» или станет отрицательным.

Понятно, что с увеличением k выше некоторого значения определитель станет отрицательным, а с ним отрицательными становятся и все элементы матрицы H*. Это математическая интерпретация важного экономического положения.

При данных коэффициентах прямых затрат (а_ij), удельной амортизации (b_ij) и коэффициентах приростной фондоемкости (f_ij) всегда существует максимально возможный темп роста, при этом естественно имеется в виду одинаковый темп роста для всех отраслей, и этот рост обеспечивается с сохранением неизменной структуры производства каждой отрасли.

Напомним, что f_ijΔX_j есть прирост ΔФ_ij фондов j-и отрасли из продукции i-й отрасли.

В нашем примере предельный уровень будет равен 48,5%.

Это важная характеристика всей совокупности коэффициентов прямых затрат материалов, удельной амортизации и приростной фондоемкости.

Положив в нашем примере k=0.486 (т. е. несколько больше предельного), имеем откорректированную матрицу A+В+FK:

Вычтя матрицу A+В+FK из E и обратив разность, придем к матрице:

Таким образом, чтобы добиться отрицательных значений матрицы достаточно установить темп прироста производства 48,6% - выше, чем предельный рост 48,5%.

Отрицательная величина элементов полученной матрицы указывает на невозможность решения экономической задачи: обеспечить рост на 8% при данных коэффициентах.

Для близкого к предельному k=0,485 H* неотрицательна, т.е. теоретически такой темп возможен, но для его обеспечения необходимы огромные капиталовложения; например, h^*₁₄=51,3 и т. д.

Более сложным является вопрос о предельно возможных темпах, если они различаются по отраслям, так как в этом случае такой предел существует не для отдельного темпа, а для всего их вектора. Можно при этом зафиксировать темпы для всех отраслей, кроме некоторой одной, и искать предел для темпа этой последней. Или, имея в виду наш пример, в одной отрасли задать темп, несколько превышающий установленный выше предел 48,5%, но компенсировать это заданием другой отрасли темпа, меньшего, чем 48,5%.

При задании темпов механизм превышения предела состоит в следующем. Для обеспечения заданного темпа в одних отраслях надо увеличить производственную программу других. Но, так как для этих других темп задан, это увеличение приведет к увеличению и их прироста, а оно потребует увеличения производственной программы ряда отраслей. Последнее будет означать и увеличение прироста их продукции, поскольку этот прирост задан в виде темпа, и т. д. Иное дело, казалось бы, если рассматривать рост в виде абсолютных приращений ΔX_j. Определив обеспечивающие их дополнительные фонды, эти фонды можно включить в конечный продукт и далее решать задачу по статической модели. В результате действительно получим вектор валовых выпусков, обеспечивающих возмещение затрат вместе с дополнительными вложениями в фонды. Так, в предыдущих примерах при рассмотренных темпах:

вектор валовых выпусков, обеспечивающих возмещение затрат вместе с дополнительными вложениями в фонды соответствует приращениям:

Умножив на них приростные фондоемкости:

В результате найдем вектор капиталовложений, естественно в единицах, в которых построены балансовые уравнения МОБ:

Вектор валовых выпусков, обеспечивающих возмещение затрат вместе с дополнительными вложениями в фонды соответствует приращениям

Умножить на матрицу приростных фондоемкостей:

В результате получим вектор капиталовложений, естественно в единицах, в которых построены балансовые уравнения МОБ

Эти инвестиционные суммы берутся из конечного продукта, и, безусловно, будут приводить к его уменьшению.

В плановом расчете наоборот: чтобы найти валовые выпуски, надо прибавить эти суммы к вектору потребления и на полученный вектор конечного продукта в целом умножить матрицу коэффициентов полных затрат. Тот же результат можно получить и прямо умножением на вектор потребления матрицы H*.

В нашем примере для этого необходимо рассчитать разность Y-FΔX, т. е.

Из вектора Y

Вычесть вектор FΔX

В результате получаем вектор Y-FΔX

При вычислении разницы матриц Y-FΔX, возможны неточности, связанные с округлением векторов

Пусть производственные мощности допускают получение того валового выпуска, который обеспечил или обеспечит в предстоящий год такие дополнительные вложения вместе с вектором потребления, тогда задача получает решение только для одного изолированного периода, т.е. по существу становится статической. Уже в последующем периоде найденного валового выпуска вместе с его приростом может оказаться недостаточно даже для возмещения выросших затрат.

Подлинно динамическая постановка задачи вообще не допускает рассмотрение приращения (или темпов) для разных отраслей как независимых друг от друга. Могут быть заданы лишь линии изменения фондов потребления П_i, валовые же выпуски вместе с линиями их изменения определятся как результат решения задачи. Данный вывод важен и не случаен. Можно определить конечное потребление П_i, но валовые выпуски X_j можно определить после решения задачи - вычислив матрицу полных затрат – H^*=(E-A-B-FK)^-1.

Это, значит, что в уравнениях (2) П_i заданы в виде функций времени, а X_i -такие функции времени, которые вместе с их приращениями удовлетворяют всей системе уравнений:

где f_ijΔX_j есть прирост ΔФ_ij фондов j-и отрасли из продукции i-й отрасли.

Мы пришли к системе конечно-разностных уравнений:

X=(A+B)X+FΔX+П

где П - вектор заданных функций времени, X - вектор неизвестных функций времени, выражающих валовые выпуски, А, В и F - известные нам из предыдущего матрицы.

Если же рассматривать процесс не по дискретным ступеням времени, а как непрерывный, то П и X превращаются в dX/dt векторы-потоки, а ΔX заменяется вектором производных

X=(A+B)X+F(dX/dt)+П

Если задать для всех составляющих П один и тот же темп k, то эти составляющие предстанут как

П_i=П_i0e^kt

Можно пытаться искать решения для составляющих X, растущих тем же темпом k.

Это значит искать их для:

Подставив это в X=(A+B)X+F(dX/dt)+П, после сокращения на e^kt получаем

X₀=(A+B)X₀+FX₀k+П₀

где X₀ и П₀ - векторы, состоящие из X_i0 и П_i0.

Это приводит к решению

X₀=(Е-A-B-Fk)^-1*П₀

Смысл его состоит в следующем: если заданы начальные значения П_i0 всех П_i и общий для них темп k, то при найденных начальных валовых выпусках Х_i0 обеспечивается заданный темп роста при стабильной структуре производства.

Но, разумеется, это отнюдь не единственно возможное решение системы:

X=(A+B)X+F(dX/dt)+П

В частности, до достижения стабилизации в указанном выше смысле, в составе решения могут быть и слагаемые, содержащие тригонометрические функции, удельный вес которых будет постепенно уменьшаться. О предельно возможном при данных А, В, F общем темпе k речь была выше. Необязательно и изменение П_i по показательным функциям с одинаковым темпом роста.